5. Найди значение выражения: \((9 - 3\frac{4}{5}) \cdot (1\frac{5}{6} + \frac{1}{9}) - \frac{2}{3}\)

Решение:

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \(3\frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{19}{5}\)
2. Выполним вычитание в первой скобке:
   • \(9 - \frac{19}{5} = \frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{19}{5} = \frac{45}{5} - \frac{19}{5} = \frac{45 - 19}{5} = \frac{26}{5}\)
3. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \(1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}\)
4. Приведем дробные части во второй скобке к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 9 будет 18.
5. Домножим числитель первой дроби на 3: \(\frac{11 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{33}{18}\)
6. Домножим числитель второй дроби на 2: \(\frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}\)
7. Выполним сложение во второй скобке: \(\frac{33}{18} + \frac{2}{18} = \frac{33 + 2}{18} = \frac{35}{18}\)
8. Выполним умножение: \(\frac{26}{5} \cdot \frac{35}{18} = \frac{26 \cdot 35}{5 \cdot 18} = \frac{13 \cdot 7}{1 \cdot 9} = \frac{91}{9}\)
9. Выполним вычитание: \(\frac{91}{9} - \frac{2}{3}\)
10. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 3 будет 9.
11. Домножим числитель второй дроби на 3: \(\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}\)
12. Выполним вычитание: \(\frac{91}{9} - \frac{6}{9} = \frac{91 - 6}{9} = \frac{85}{9}\)
13. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{85}{9} = 9\frac{4}{9}\)

Ответ: \(9\frac{4}{9}\)