17. Найди значение выражения √98+18√17 - √17.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим данное выражение по шагам. 1. Сначала упростим выражение под корнем: \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17}\) 2. Заметим, что 98 можно представить как \(49 \times 2\), то есть \(49 \times 2 = 7^2 \times 2\). Также можно попытаться представить выражение под корнем как полный квадрат вида \((a + b\sqrt{17})^2\): \((a + b\sqrt{17})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{17} + 17b^2\) 3. Сравним это с выражением \(98 + 18\sqrt{17}\). Получаем систему уравнений: \(a^2 + 17b^2 = 98\) \(2ab = 18\) Из второго уравнения получаем \(ab = 9\), следовательно, \(a = \frac{9}{b}\). Подставим это в первое уравнение: \((\frac{9}{b})^2 + 17b^2 = 98\) \(\frac{81}{b^2} + 17b^2 = 98\) Умножим всё на \(b^2\): \(81 + 17b^4 = 98b^2\) \(17b^4 - 98b^2 + 81 = 0\) 4. Сделаем замену \(x = b^2\), тогда уравнение примет вид: \(17x^2 - 98x + 81 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = (-98)^2 - 4 \times 17 \times 81 = 9604 - 5508 = 4096\) \(x_1 = \frac{98 + \sqrt{4096}}{2 \times 17} = \frac{98 + 64}{34} = \frac{162}{34} = \frac{81}{17}\) \(x_2 = \frac{98 - \sqrt{4096}}{2 \times 17} = \frac{98 - 64}{34} = \frac{34}{34} = 1\) 5. Так как \(x = b^2\), рассмотрим оба случая: - Если \(b^2 = \frac{81}{17}\), то \(b = \frac{9}{\sqrt{17}}\). Тогда \(a = \frac{9}{b} = \frac{9}{\frac{9}{\sqrt{17}}} = \sqrt{17}\). - Если \(b^2 = 1\), то \(b = 1\). Тогда \(a = \frac{9}{1} = 9\). 6. Проверим какой вариант подходит: - \((\sqrt{17} + 9\sqrt{17})^2\) не подходит. - \((9 + \sqrt{17})^2 = 81 + 18\sqrt{17} + 17 = 98 + 18\sqrt{17}\). Этот вариант подходит. 7. Тогда исходное выражение можно переписать так: \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17} = \sqrt{(9 + \sqrt{17})^2} - \sqrt{17} = 9 + \sqrt{17} - \sqrt{17} = 9\) Таким образом, значение выражения равно **9**.