Решение:

Для начала упростим выражение. Заметим, что косинус имеет период 360°, то есть cos(x) = cos(x + 360°k), где k - целое число. Найдем угол, эквивалентный 997° в пределах одного периода:

$$997 \div 360 = 2 \text{ (остаток } 277)$$

Таким образом, cos(997°) = cos(277°). Теперь перепишем выражение:

$$5 \cos^2(277°) + 5 \sin^2(83°)$$

Заметим, что 277° = 360° - 83°, значит, cos(277°) = cos(360° - 83°) = cos(-83°) = cos(83°), так как косинус - четная функция.

Теперь выражение выглядит так:

$$5 \cos^2(83°) + 5 \sin^2(83°)$$

Вынесем 5 за скобки:

$$5(\cos^2(83°) + \sin^2(83°))$$

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Тогда:

$$5 \cdot 1 = 5$$

Ответ: 5