Найди значение выражения \( \frac{5}{6} a^{-3}b^3 \cdot 30a^3b^{-4} \) при \( a = 127, b = \frac{1}{5} \).

Решение:

Сначала упростим выражение, умножив коэффициенты и сложив степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{5}{6} a^{-3}b^3 \cdot 30a^3b^{-4} = \left( \frac{5}{6} \cdot 30 \right) \cdot \left( a^{-3} \cdot a^3 \right) \cdot \left( b^3 \cdot b^{-4} \right) \)

Умножим коэффициенты: \( \frac{5}{6} \cdot 30 = 5 \cdot 5 = 25 \).

Сложим степени с основанием \( a \): \( a^{-3} \cdot a^3 = a^{-3+3} = a^0 = 1 \).

Сложим степени с основанием \( b \): \( b^3 \cdot b^{-4} = b^{3+(-4)} = b^{-1} \).

Таким образом, упрощенное выражение равно: \( 25 \cdot 1 \cdot b^{-1} = 25b^{-1} = \frac{25}{b} \).

Теперь подставим значение \( b = \frac{1}{5} \):

\( \frac{25}{\frac{1}{5}} = 25 \cdot 5 = 125 \).

Ответ: 125