3. Найдите ∠4, если: a) Z1 = Z2, Z3 = 72°; 5) ∠1 = 138°, ∠2 = 42°, ∠3 = 75°; ) ∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 = 122°.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Случай а)

   По условию, ∠1 = ∠2. Значит, AK - биссектриса ∠ВАС. Следовательно, ∠1 = ∠2 = (180° - ∠3)/2 = (180° - 72°)/2 = 108°/2 = 54°

   Сумма углов в треугольнике AKM равна 180°. Следовательно, ∠4 = 180° - ∠1 - ∠3 = 180° - 54° - 72° = 54°

2. Случай б)

   В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Следовательно, ∠BAC = 180° - ∠1 - ∠3 = 180° - 138° - 75° = -33°. Такого не может быть. В условии ошибка.

   Предположим, что ∠1 + ∠3 = 180°. Тогда ∠BAC = 180° - 180° = 0°. Тоже невозможно. В условии ошибка.

   Будем считать, что ∠1 и ∠2 - смежные углы.

   ∠KAC = 180° - ∠1 = 180° - 138° = 42°

   ∠4 = 180° - ∠KAC - ∠3 = 180° - 42° - 75° = 63°

3. Случай в)

   По условию, ∠1 + ∠2 = 180°. Значит, углы 1 и 2 - смежные.

   ∠BAC = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 180° = 0°

   Такого не может быть. В условии ошибка.

   Предположим, что ∠1 + ∠2 = 180° - это внешний угол.

   ∠BAC = ∠1 + ∠2 = 180°

   ∠4 = 180° - ∠2 - ∠3 = 180° - 180° - 122° = -122°

   Такого не может быть. В условии ошибка.

   Будем считать, что ∠1 + ∠2 = 180° и ∠2 = 60° (смежный угол с ∠1)

   ∠4 = 180° - ∠2 - ∠3 = 180° - 60° - 122° = -2°

   Такого не может быть. В условии ошибка.

   Будем считать, что ∠1 + ∠2 = 180° - это означает, что ∠1 и ∠2 - смежные углы, и ∠1 = ∠2. Тогда:

   ∠1 = ∠2 = 180°/2 = 90°

   ∠4 = 180° - ∠2 - ∠3 = 180° - 90° - 122° = -32°

   Такого не может быть. В условии ошибка.

Ответ: а) ∠4 = 54°, б) ∠4 = 63°, в) в условии ошибка