Найдите биномиальный коэффициент восьмого члена бинома (x + y)^n если биномиальный коэффициент третьего члена разложения равен 36

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о биномиальных коэффициентах и свойствах бинома Ньютона. Бином Ньютона имеет вид: $$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$$ где $$C_n^k$$ - биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ В нашей задаче нам дано, что биномиальный коэффициент третьего члена разложения равен 36. Третий член соответствует k = 2 (так как нумерация начинается с 0). Таким образом, имеем: $$C_n^2 = 36$$ Используем формулу для биномиального коэффициента: $$\frac{n!}{2!(n-2)!} = 36$$ $$\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!} = 36$$ $$\frac{n(n-1)}{2} = 36$$ $$n(n-1) = 72$$ $$n^2 - n - 72 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что 72 = 9 * 8, поэтому корни уравнения n = 9 и n = -8. Так как n должно быть положительным целым числом (степень бинома), то n = 9. Теперь нам нужно найти биномиальный коэффициент восьмого члена бинома. Восьмой член соответствует k = 7. Таким образом, ищем: $$C_9^7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 9 \cdot 4 = 36$$ Итак, биномиальный коэффициент восьмого члена равен 36. Ответ: 36