Найдите боковую сторону \(AB\) трапеции \(ABCD\), если углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCD\) равны \(60^\circ\) и \(135^\circ\) соответственно, а сторона \(CD = 27\).

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах трапеций и умение применять тригонометрические функции. 1. Определение углов: * \(\angle ABC = 60^\circ\) * \(\angle BCD = 135^\circ\) * \(CD = 27\) 2. Проведем высоту: Проведем высоту \(CK\) из вершины \(C\) на сторону \(AB\) и высоту \(DH\) из вершины \(D\) на сторону \(AB\). Тогда \(CK \perp AB\) и \(DH \perp AB\). 3. Рассмотрим угол \(\angle BCK\): Так как \(\angle BCD = 135^\circ\) и \(\angle KCB + \angle BCA = 135^\circ\), то \(\angle BCK = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ\). 4. Найдем \(BK\): В прямоугольном треугольнике \(\triangle BCK\), \(\angle CBK = 60^\circ\), следовательно, \(\angle BCK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Тогда \(BK = BC \cdot \cos(60^\circ)\) 5. Найдем \(CK\): \(CK = BC \cdot \sin(60^\circ)\) 6. Рассмотрим угол \(\angle CDH\): Т.к. \(\angle CDA + \angle DAB = 180^\circ\) (свойство трапеции), и \(\angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Поскольку \(\angle CDH = 90^\circ\), то \(\angle ADH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). 7. Найдем \(DH\) и \(AH\): В прямоугольном треугольнике \(CDH\), \(DH = CD \cdot \sin(45^\circ) = 27 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(CH = CD \cdot \cos(45^\circ) = 27 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). 8. Найдем \(BC\): Поскольку \(DH = CK\), то \(BC \cdot \sin(60^\circ) = 27 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Следовательно, \(BC = \frac{27 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin(60^\circ)} = \frac{27 \cdot \sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{6}\). 9. Найдем \(BK\): \(BK = BC \cdot \cos(60^\circ) = 9\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{2}\). 10. Найдем \(AH\): \(AH = CD \cdot \cos(45^\circ) = 27 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}\). 11. Найдем \(AB\): Опустим высоту \(CF\) на \(AD\). Тогда \(AB = AH + HK + KB\). Так как \(HK = CD = 27\), то \(AB = \frac{27\sqrt{2}}{2} + 27 + \frac{9\sqrt{6}}{2}\). Но данная трапеция равнобедренная, следовательно: \(AB = CD = 27\). Пусть \(AB = x\). Тогда \(x \cdot \sin(60^\circ) = 27 \cdot \sin(45^\circ)\). \(x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). \(x = \frac{27 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 9 \sqrt{6}\). Значит, \(AB = 9 \sqrt{6}\). Ответ: \(AB = 9\sqrt{6}\)