Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямой.

{ "a": { "side": "10", "area": "48" }, "b": { "side": "18", "area": "81*sqrt(3)" }, "c": { "side": "not determined", "area": "not determined" } } **Решение:** **a) Основание равно 12 см, высота к основанию равна 8 см** 1. **Найдём боковую сторону:** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Половина основания равна 12 см / 2 = 6 см. Используем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где a и b - катеты, c - гипотенуза. В нашем случае: $$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = \sqrt{100} = 10$$ см Боковая сторона равна 10 см. 2. **Найдём площадь:** Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. $$S = \frac{1}{2} * a * h$$, где a - основание, h - высота. $$S = \frac{1}{2} * 12 * 8 = 48$$ см² Площадь треугольника равна 48 см². **б) Основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°** 1. **Найдём боковую сторону:** Проведём высоту к основанию, она разделит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Угол при вершине будет равен 120° / 2 = 60°. Основание также разделится пополам на 9 см. В прямоугольном треугольнике при основании острый угол будет равен 180° - 90° - 60° = 30°. Боковая сторона (гипотенуза) будет в два раза больше катета, лежащего напротив угла в 30°. Этот катет равен 9 см, поэтому гипотенуза будет 18 см. Боковая сторона равна 18 см. 2. **Найдём площадь:** Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} * a * b * sin(\gamma)$$, где a и b - стороны, \gamma - угол между ними. В нашем случае, две боковые стороны равны 18 см, угол между ними равен 120°. $$S = \frac{1}{2} * 18 * 18 * sin(120°)$$, $$sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = \frac{1}{2} * 18 * 18 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 81 * \sqrt{3}$$ см². Площадь треугольника равна $$81\sqrt{3}$$ см². **в) Треугольник прямой:** В условии указано, что треугольник прямоугольный, но не сказано какой именно угол прямой и какие стороны известны. В связи с этим нельзя определить боковую сторону и площадь. **Ответ:** а) Боковая сторона равна 10 см, площадь равна 48 см². б) Боковая сторона равна 18 см, площадь равна $$81\sqrt{3}$$ см². в) Невозможно определить боковую сторону и площадь без дополнительных данных.