Найдите боковую сторону трапеции, если площадь равнобедренной трапеции равна 48 $см^2$, а сумма длин её оснований равна 24 см. Острый угол равен 45°.

Разберем решение задачи по шагам: 1. **Вспомним формулу площади трапеции:** Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $S$ - площадь, $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота. 2. **Выразим высоту:** По условию, $S = 48$ $см^2$, а $(a + b) = 24$ см. Подставим значения в формулу: $48 = \frac{24}{2} \cdot h$ $48 = 12 \cdot h$ $h = \frac{48}{12} = 4$ см. 3. **Рассмотрим прямоугольный треугольник:** Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему. Так как трапеция равнобедренная, образуются два равных прямоугольных треугольника. Один из углов в этих треугольниках равен 45° (по условию). 4. **Определим катеты треугольника:** В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны. Один катет - это высота трапеции ($h = 4$ см). Следовательно, и второй катет тоже равен 4 см. Этот катет является разностью полуразностей оснований трапеции, то есть: $\frac{a - b}{2} = 4$. 5. **Найдем боковую сторону трапеции:** Боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника. Используем теорему Пифагора: $c^2 = h^2 + (\frac{a - b}{2})^2$ $c^2 = 4^2 + 4^2$ $c^2 = 16 + 16$ $c^2 = 32$ $c = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см. Таким образом, боковая сторона трапеции равна $4\sqrt{2}$ см. **Ответ:** $4\sqrt{2}$