19. Найдите четырёхзначное число, которое в 6 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число $$x$$, а натуральное число, куб которого больше искомого в 6 раз, равно $$n$$. Тогда выполняется условие:

$$\frac{n^3}{6} = x$$

Так как $$x$$ - четырёхзначное число, то $$1000 \le x \le 9999$$. Подставим это в исходное уравнение:

$$1000 \le \frac{n^3}{6} \le 9999$$

Умножим все части неравенства на 6:

$$6000 \le n^3 \le 59994$$

Извлечем кубический корень из всех частей неравенства:

$$\sqrt[3]{6000} \le n \le \sqrt[3]{59994}$$

Приблизительно вычислим значения корней:

$$18.17 \le n \le 39.14$$

Поскольку $$n$$ - натуральное число, то $$19 \le n \le 39$$. Переберём несколько значений $$n$$, чтобы найти такое, чтобы $$n^3$$ делилось на 6:

При $$n = 24$$, $$n^3 = 24^3 = 13824$$. $$x = \frac{13824}{6} = 2304$$ - четырёхзначное число.

При $$n = 30$$, $$n^3 = 30^3 = 27000$$. $$x = \frac{27000}{6} = 4500$$ - четырёхзначное число.

При $$n = 36$$, $$n^3 = 36^3 = 46656$$. $$x = \frac{46656}{6} = 7776$$ - четырёхзначное число.

В ответе укажем число 2304.

Ответ: 2304