19. Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Ответ:

Пусть x – натуральное число, четвертая степень которого в 4 раза больше искомого четырехзначного числа. Тогда можно записать уравнение:

$$x^4 = 4 \cdot N$$

где N – искомое четырехзначное число.

Разделим обе части уравнения на 4:

$$\frac{x^4}{4} = N$$

Чтобы N было целым числом, необходимо, чтобы x был четным числом. Пусть $$x = 2y$$, где y – натуральное число. Тогда:

$$\frac{(2y)^4}{4} = N$$

$$\frac{16y^4}{4} = N$$

$$4y^4 = N$$

Таким образом, искомое число можно найти, выбирая различные значения y и проверяя, что N является четырехзначным числом.

При $$y = 1$$, $$N = 4 \cdot 1^4 = 4$$ (не подходит, так как N должно быть четырехзначным числом).

При $$y = 2$$, $$N = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64$$ (не подходит, так как N должно быть четырехзначным числом).

При $$y = 3$$, $$N = 4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$$ (не подходит, так как N должно быть четырехзначным числом).

При $$y = 4$$, $$N = 4 \cdot 4^4 = 4 \cdot 256 = 1024$$ (подходит, так как N является четырехзначным числом).

При $$y = 5$$, $$N = 4 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500$$ (подходит, так как N является четырехзначным числом).

При $$y = 6$$, $$N = 4 \cdot 6^4 = 4 \cdot 1296 = 5184$$ (подходит, так как N является четырехзначным числом).

При $$y = 7$$, $$N = 4 \cdot 7^4 = 4 \cdot 2401 = 9604$$ (подходит, так как N является четырехзначным числом).

При $$y = 8$$, $$N = 4 \cdot 8^4 = 4 \cdot 4096 = 16384$$ (не подходит, так как N должно быть четырехзначным числом).

Таким образом, возможные значения N: 1024, 2500, 5184, 9604. В ответе можно указать любое из этих чисел.

Ответ: 1024