Найдите cos(∠BAC), если известно, что в треугольнике ABC, AC = BC, AB = 26 и высота AH = 24.

Давайте решим задачу по шагам. 1. **Понимание задачи:** - Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC. - AB = 26 - основание треугольника. - AH = 24 - высота, проведенная к боковой стороне BC. - Нужно найти cos(∠BAC). 2. **План решения:** - Поскольку треугольник ABC равнобедренный, высота, проведенная из вершины C к основанию AB, также является медианой. Обозначим точку пересечения этой высоты с AB как M. Тогда AM = MB = AB/2 = 13. - Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. Мы знаем AM = 13 и AH = 24. Нам нужно найти AC. - Так как AH является высотой, проведенной к BC, рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. - Сначала найдем BH по теореме Пифагора в треугольнике ABH. - После этого воспользуемся тем, что AC = BC, и найдем HC. - Далее мы можем найти косинус угла BAC. 3. **Решение:** - В треугольнике ABH (прямоугольном) по теореме Пифагора: \[AH^2 + BH^2 = AB^2\] \[24^2 + BH^2 = 26^2\] \[576 + BH^2 = 676\] \[BH^2 = 100\] \[BH = 10\] - Теперь рассмотрим треугольник AHC (прямоугольный) по теореме Пифагора: \[AH^2 + HC^2 = AC^2\] \[24^2 + HC^2 = AC^2\] - Так как AC = BC, то BC = BH + HC. \[AC = 10 + HC\] - Подставим AC в уравнение для треугольника AHC: \[24^2 + HC^2 = (10 + HC)^2\] \[576 + HC^2 = 100 + 20HC + HC^2\] \[476 = 20HC\] \[HC = 23.8\] - Тогда AC = BC = 10 + 23.8 = 33.8 - Теперь рассмотрим треугольник AMC, где AM = 13 и AC = 33.8. Нам нужно найти CM. Сначала вычислим CM. \[AC^2 = AM^2 + CM^2\] \[33.8^2 = 13^2 + CM^2\] \[1142.44 = 169 + CM^2\] \[CM^2 = 973.44\] \[CM = \sqrt{973.44} = 31.2\] - Для нахождения cos(∠BAC) рассмотрим треугольник AMC: \[cos(\angle BAC) = \frac{AM}{AC} = \frac{13}{33.8}\] \[cos(\angle BAC) = 0.3846\] **Ответ:** \(cos(\angle BAC) \approx 0.3846\) или \(\frac{5}{13}\).