Найдите cos α и sin α, если tan α = 5/12 и π < α < 3π/2.

Решение:

Используем тождество \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). Найдём \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left( \frac{5}{12} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{1}{\frac{144 + 25}{144}} = \frac{1}{\frac{169}{144}} = \frac{144}{169} \]

Так как \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (III четверть), косинус отрицательный:

\[ \cos \alpha = - \sqrt{\frac{144}{169}} = - \frac{12}{13} \]

Теперь найдём \( \sin \alpha \) по формуле \( \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha \):

\[ \sin \alpha = \frac{5}{12} \cdot \left( - \frac{12}{13} \right) = - \frac{5}{13} \]

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \), \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \).