Найдите длину меньшего катета прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 11 см, а один из острых углов равен 60 градусам.

Для решения этой задачи мы будем использовать тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике. 1. **Определение катетов**: В прямоугольном треугольнике катеты - это стороны, образующие прямой угол, а гипотенуза - это сторона напротив прямого угла. В нашем случае, гипотенуза равна 11 см. 2. **Отношения в прямоугольном треугольнике**: Нам дан угол в 60 градусов. Пусть меньший катет - это катет, противолежащий этому углу. 3. **Используем синус**: Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Запишем это в виде формулы: \[\sin(60^{\circ}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\] 4. **Известные значения**: - \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) - Гипотенуза равна 11 см. 5. **Подставляем значения**: \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{противолежащий катет}}{11}\] 6. **Находим противолежащий катет**: \[\text{противолежащий катет} = 11 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\text{противолежащий катет} \approx 11 \times 0.866 = 9.526\] 7. **Используем косинус**: Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] 8. **Известные значения**: - \(\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\) - Гипотенуза равна 11 см. 9. **Подставляем значения**: \[\frac{1}{2} = \frac{\text{прилежащий катет}}{11}\] 10. **Находим прилежащий катет**: \[\text{прилежащий катет} = 11 \times \frac{1}{2} = 5.5\] 11. **Меньший катет**: Сравнивая два полученных катета, 5.5 см меньше 9.526 см. Поэтому, меньший катет равен 5.5 см. **Ответ**: Длина меньшего катета равна 5.5 см.