Найдите длину отрезка AC, если \(\angle A = 2\angle B\), AB – AC = 15.

Пусть \(\angle B = x\). Тогда \(\angle A = 2x\). Обозначим \(AC = b\), \(AB = c\), а \(BC = a\). По условию \(c - b = 15\). Воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\] Подставим известные углы: \[\frac{a}{\sin 2x} = \frac{b}{\sin x} = \frac{c}{\sin (180 - 3x)}\] \[\frac{b}{\sin x} = \frac{c}{\sin (180 - 3x)}\] \[\frac{b}{\sin x} = \frac{c}{\sin 3x}\] Вспомним, что \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\). Тогда: \[\frac{b}{\sin x} = \frac{c}{3\sin x - 4\sin^3 x}\] \[b = \frac{c \sin x}{3\sin x - 4\sin^3 x}\] \[b = \frac{c}{3 - 4\sin^2 x}\] Из условия \(c - b = 15\) следует, что \(c = b + 15\). Подставим это в предыдущее уравнение: \[b = \frac{b + 15}{3 - 4\sin^2 x}\] \[b(3 - 4\sin^2 x) = b + 15\] \[3b - 4b\sin^2 x = b + 15\] \[2b - 4b\sin^2 x = 15\] \[2b(1 - 2\sin^2 x) = 15\] Вспомним формулу двойного угла: \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Тогда: \[2b \cos 2x = 15\] \[b = \frac{15}{2 \cos 2x}\] Теперь посмотрим на равенство: \[\frac{a}{\sin 2x} = \frac{b}{\sin x}\] \[a = \frac{b \sin 2x}{\sin x}\] Поскольку \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), то \[a = \frac{b cdot 2 \sin x \cos x}{\sin x} = 2b \cos x\] Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам: \(A + B + C = 180\). \(2x + x + C = 180\) \(C = 180 - 3x\) По теореме синусов: \[\frac{c}{\sin(180 - 3x)} = \frac{b}{\sin x}\] \(c = b + 15\), \(\sin(180 - 3x) = \sin(3x)\), следовательно: \[\frac{b + 15}{\sin 3x} = \frac{b}{\sin x}\] \[(b + 15)\sin x = b \sin 3x\] \[b \sin x + 15 \sin x = b(3 \sin x - 4 \sin^3 x)\] \[15 \sin x = 2b \sin x - 4b \sin^3 x\] \[15 = 2b - 4b \sin^2 x\] \[15 = 2b(1 - 2 \sin^2 x)\] \[15 = 2b \cos 2x\] \[b = \frac{15}{2 \cos 2x}\] Мы получили такое же выражение. Рассмотрим случай, когда угол \(\angle B = 30^{\circ}\). Тогда \(\angle A = 60^{\circ}\), а \(\angle C = 90^{\circ}\). В этом случае \(\cos 2x = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\). Тогда: \[b = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 15\] Тогда \(AC = 15\). В этом случае, \(AB = AC + 15 = 15 + 15 = 30\). А \(BC = AB \cdot \sin(60^{\circ}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \sqrt{3}\). Проверим теорему синусов: \[\frac{15}{\sin 30^{\circ}} = \frac{30}{\sin 90^{\circ}} = \frac{15 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}\] \[\frac{15}{\frac{1}{2}} = \frac{30}{1} = \frac{15 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\] \[30 = 30 = 30\] **Ответ: 15**