1. Найдите длину отрезка АМ и градусную меру угла АВК, если ВМ медиана, а ВК биссектриса треуголь- ника АВС и известно, что АС-16 м, ∠ АBC-84°. 1. В треугольнике АВС проведена высота ВН, а в тре- угольнике ВСН биссектриса НМ. Найдите угол МНС. 1. Луч ОР является биссек- трисой угла КОМ (см. рисунок). Докажите, что А КОР - АΜΟΡ, если ОК ОМ. 2*. Даны два пересекающихся отрезка (см. рисунок). Докажите, что ДОРМ ДОКТ, если извест но, что МО ОТ и МКРТ.

Рассмотрим каждое задание отдельно.

Задание 1.

В треугольнике АВС, ВМ - медиана, следовательно, АМ = МС. Так как АС = 16 м, то АМ = АС/2 = 16/2 = 8 м.

ВК - биссектриса угла АВС, следовательно, ∠АВК = ∠СВК = ∠АВС/2 = 84°/2 = 42°.

Ответ: АМ = 8 м, ∠АВК = 42°.

---

Задание 1.1.

В треугольнике АВС проведена высота ВН, следовательно, ∠ВНС = 90°. НМ - биссектриса угла ВНС, следовательно, ∠МНС = ∠ВНС/2 = 90°/2 = 45°.

Ответ: ∠МНС = 45°.

---

Задание 1.2.

Дано: ОК = ОМ, ∠КОР = ∠МОР (так как ОР - биссектриса угла КОМ).

Доказать: ΔKOP = ΔMOP.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔKOP и ΔMOP.

ОК = ОМ (по условию), ОР - общая сторона, ∠KOP = ∠MOP (по условию).

Следовательно, ΔKOP = ΔMOP по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что ΔKOP = ΔMOP.

---

Задание 2*.

Дано: МО = ОТ, МК = РТ.

Доказать: ΔОРМ = ΔОКТ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔОРМ и ΔОКТ.

МО = ОТ (по условию), ∠MOP = ∠KOT (как вертикальные), МК = РТ (по условию), следовательно, ОК = ОР.

Следовательно, ΔОРМ = ΔОКТ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что ΔОРМ = ΔОКТ.