346 Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности с центром О, где В – точка касания, если угол АОВ равен 45°, а радиус окружности – 12 см.

Задача 346. Дано: Окружность с центром O, AB - касательная, B - точка касания, \(\angle AOB = 45^\circ\), OB = 12 см. Найти: AB Решение: 1. Так как AB - касательная к окружности, то OB перпендикулярна AB (свойство касательной). Следовательно, \(\triangle AOB\) - прямоугольный, с прямым углом при вершине B. 2. В прямоугольном \(\triangle AOB\): \(\tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB}\) 3. Выразим AB: \(AB = OB \cdot \tan(\angle AOB)\) 4. Подставим известные значения: \(AB = 12 \cdot \tan(45^\circ)\) 5. Т.к. \(\tan(45^\circ) = 1\), то: \(AB = 12 \cdot 1 = 12\) см. Ответ: \(\bf{12}\) см. Развернутый ответ: В этой задаче нам нужно найти длину отрезка касательной AB к окружности. Важно знать, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это значит, что угол между OB и AB равен 90 градусам. У нас получается прямоугольный треугольник AOB. Мы знаем угол AOB (45 градусов) и длину радиуса OB (12 см). Чтобы найти длину AB, мы используем тангенс угла AOB, который равен отношению противолежащего катета (AB) к прилежащему катету (OB). Так как тангенс 45 градусов равен 1, то AB просто равно OB, то есть 12 см.