Решение

Рассмотрим треугольник $$A_1BC$$. В этом треугольнике угол $$\angle A_1BC = 30^{\circ}$$, угол $$\angle A_1CB = 60^{\circ}$$. Тогда угол $$\angle BA_1C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$$. Следовательно, треугольник $$A_1BC$$ является прямоугольным.

Рассмотрим треугольник $$A_1AC$$. Так как $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$, то треугольник $$A_1AC$$ является прямоугольным, и $$\angle AA_1C = 90^{\circ}$$.

В прямоугольном треугольнике $$A_1BC$$ сторона $$A_1C$$ является катетом, прилежащим к углу $$\angle A_1CB = 60^{\circ}$$. Тогда сторона $$BC$$ является гипотенузой. Катет, прилежащий к углу $$60^{\circ}$$ равен $$A_1C = 4$$. Используем косинус угла, чтобы найти гипотенузу $$BC = x$$:

$$cos(60^{\circ}) = \frac{A_1C}{BC} = \frac{4}{x}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{4}{x}$$ $$x = 4 \cdot 2 = 8$$

Ответ: BC = x = 8.