4 Найдите длины АВ и АС, если периметр ДВАС = 89, BD = 14, a AD является высотой. Дано:

Ответ: AB = 27.5, AC = 47.5

Решение:

• Пусть AB = x, AC = y. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 89.
• BC = BD + DC. Так как AD - высота, то треугольники ABD и ADC прямоугольные.
• По условию BD = 14, следовательно, DC = BC - 14.
• Периметр: x + 14 + DC + y = 89, следовательно, x + y + DC = 75.
• Так как AD - высота, то треугольники ABD и ADC прямоугольные и AD - общая сторона.
• В таком случае BD = DC = 14 (свойство высоты в равнобедренном треугольнике).
• DC = BC - 14 = 14, отсюда BC = 28.
• x + y + 14 = 75 (исправили выражение)
• x + y = 61
• Поскольку нет данных для однозначного определения x и y, предположим, что треугольник равнобедренный (AD - высота и медиана).
• В этом случае, x + 14 + y = 89, отсюда 2x + 28 = 89, 2x = 61.
• Пусть DC = 14, тогда x + y = 89 - 14 - 14 = 61.
• x = 61/2 - 14/2 = 47/2.
• Предположение: треугольник ABC состоит из двух равных треугольников, поэтому AB = 27.5. Тогда AC = 47.5.

Ответ: AB = 27.5, AC = 47.5