7. Найдите для функции у = - x² + 4x + 5: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) наименьшее (наибольшее) значение функции; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули функции; е) промежутки знакопостоянства функции; ж) промежутки монотонности функции.

Для функции \(y = -x^2 + 4x + 5\):

• а) Область определения функции:

  Область определения квадратичной функции - это все действительные числа.

  Ответ: \((-\infty; +\infty)\)

• б) Множество значений функции:

  Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Найдем ординату вершины: \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2\), \(y_в = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\). Множество значений: от минус бесконечности до 9.

  Ответ: \((-\infty; 9]\)

• в) Наименьшее (наибольшее) значение функции:

  Так как ветви параболы направлены вниз, наименьшего значения не существует, а наибольшее значение равно ординате вершины.

  Ответ: Наибольшее значение: 9

• г) Уравнение оси симметрии параболы:

  Ось симметрии параболы проходит через вершину, поэтому ее уравнение: \(x = x_в\), где \(x_в\) - абсцисса вершины.

  Ответ: \(x = 2\)

• д) Нули функции:

  Чтобы найти нули функции, решим уравнение \(-x^2 + 4x + 5 = 0\). Дискриминант \(D = 4^2 - 4(-1)(5) = 16 + 20 = 36\). Корни: \(x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1\), \(x_2 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5\).

  Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\)

• е) Промежутки знакопостоянства функции:
  • Функция положительна (\(y > 0\)) между нулями: \(-1 < x < 5\).
  • Функция отрицательна (\(y < 0\)) вне интервала между нулями: \(x < -1\) или \(x > 5\).

  Ответ: \(y > 0\) при \(-1 < x < 5\), \(y < 0\) при \(x < -1\) или \(x > 5\)

• ж) Промежутки монотонности функции:
  • Функция возрастает до вершины параболы: \(x < 2\).
  • Функция убывает после вершины параболы: \(x > 2\).

  Ответ: Возрастает при \(x < 2\), убывает при \(x > 2\)