Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, высота CH = 1 см, и ∠A = 15°. Тогда ∠B = 90° - 15° = 75°.

Из прямоугольного треугольника ACH: CH = AC × sin(∠A), откуда AC = CH / sin(∠A) = 1 / sin(15°).

sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°) = $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$.

Следовательно, AC = $$\frac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$$

Из прямоугольного треугольника BCH: CH = BC × sin(∠B), откуда BC = CH / sin(∠B) = 1 / sin(75°).

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$.

Следовательно, BC = $$\frac{1}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$

По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = ($$\sqrt{6} + \sqrt{2}$$)² + ($$\sqrt{6} - \sqrt{2}$$)² = (6 + 2$$\sqrt{12}$$ + 2) + (6 - 2$$\sqrt{12}$$ + 2) = 8 + 8 = 16.

AB = $$\sqrt{16}$$ = 4 см.

Ответ: Гипотенуза равна 4 см.