Найдите градусную меру угла ABC (O – центр окружности).

Решение задач на нахождение градусной меры угла ABC, где O – центр окружности. 1. Дано: ∠AOC = 110°. Найти: ∠ABC. ∠ABC - вписанный, опирается на дугу AC. ∠AOC - центральный, опирается на дугу AC. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AC = 110°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. ∠ABC = $\frac{1}{2}$ * дуга AC = $\frac{1}{2}$ * 110° = 55°. Ответ: ∠ABC = 55°. 2. Дано: ∠AOC = 120°. Найти: ∠ABC. ∠AOC - центральный угол, опирается на дугу AC. ∠ABC - вписанный угол, опирается на дугу AC. Дуга AC = 120°. ∠ABC = $\frac{1}{2}$ * дуга AC = $\frac{1}{2}$ * 120° = 60°. Ответ: ∠ABC = 60°. 3. Дано: ∠OAB = 30°. Найти: ∠ACB. Треугольник AOB равнобедренный (AO = OB как радиусы окружности). Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 30°. ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°. ∠AOB - центральный угол, опирается на дугу AB. ∠ACB - вписанный угол, опирается на дугу AB. Дуга AB = 120°. ∠ACB = $\frac{1}{2}$ * дуга AB = $\frac{1}{2}$ * 120° = 60°. Ответ: ∠ACB = 60°. 4. Дано: ∠ADC = 40°. Найти: ∠ABC. ∠ADC - вписанный угол, опирается на дугу AC. ∠ABC - вписанный угол, опирается на дугу AC. ∠ADC = $\frac{1}{2}$ * дуга AC. Дуга AC = 2 * ∠ADC = 2 * 40° = 80°. ∠ABC = $\frac{1}{2}$ * дуга AC = $\frac{1}{2}$ * 80° = 40°. Ответ: ∠ABC = 40°. 5. Дано: ∠AOB = 50°. Найти: ∠ACB. ∠AOB - центральный угол, опирается на дугу AB. ∠ACB - вписанный угол, опирается на дугу AB. Дуга AB = 50°. ∠ACB = $\frac{1}{2}$ * дуга AB = $\frac{1}{2}$ * 50° = 25°. Ответ: ∠ACB = 25°. 6. Дано: ∠BAD = 30°. Найти: ∠BOD. ∠BAD - вписанный угол, опирается на дугу BD. ∠BOD - центральный угол, опирается на дугу BD. Дуга BD = 2 * ∠BAD = 2 * 30° = 60°. ∠BOD = дуга BD = 60°. Ответ: ∠BOD = 60°. 7. Дано: ∠ABC = 120°. Найти: ∠ADC. ∠ABC - вписанный угол, опирается на дугу AC. Дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 120° = 240°. Дуга ADC = 360° - дуга AC = 360° - 240° = 120°. ∠ADC - вписанный угол, опирается на дугу AC. ∠ADC = $\frac{1}{2}$ * дуга AC = $\frac{1}{2}$ * 120° = 60°. Ответ: ∠ADC = 60°. 8. ∠AOD, ∠BOC - центральные углы, опираются на дуги AD и BC соответственно. Т.к. ABCD - прямоугольник, то диагонали AC и BD равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = OD = BO = OC. ∠AOD = ∠BOC = 90° (т.к. диагонали в прямоугольнике пересекаются под прямым углом). ∠ABC = ∠ADC = 45° (т.к. вписанные углы опираются на дуги AD и BC, которые составляют четверть окружности). Ответ: ∠ABC = ∠ADC = 45°. 9. Дано: ∠AOD = 150°, ∠ACB = 30°. Найти: ∠AOD. ∠AOD - центральный угол, опирается на дугу AD. Следовательно, дуга AD = 150°. ∠ACB - вписанный угол, опирается на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 2 * ∠ACB = 2 * 30° = 60°. ∠ABD - вписанный угол, опирается на дугу AD. Следовательно, ∠ABD = $\frac{1}{2}$ * дуга AD = $\frac{1}{2}$ * 150° = 75°. Ответ: ∠ABD = 75°. 10. Дано: ∠BAC = 30°. Найти: ∠BOC. ∠BAC - вписанный угол, опирается на дугу BC. ∠BOC - центральный угол, опирается на дугу BC. Дуга BC = 2 * ∠BAC = 2 * 30° = 60°. ∠BOC = дуга BC = 60°. Ответ: ∠BOC = 60°. 11. Дано: ∠ACB = 30°. Найти: ∠AOB. ∠ACB - вписанный угол, опирается на дугу AB. ∠AOB - центральный угол, опирается на дугу AB. Дуга AB = 2 * ∠ACB = 2 * 30° = 60°. ∠AOB = дуга AB = 60°. Ответ: ∠AOB = 60°. 12. Дано: ∠BDE = 70°. Найти: ∠BOE. ∠BDE - вписанный угол, опирается на дугу BE. ∠BOE - центральный угол, опирается на дугу BE. Дуга BE = 2 * ∠BDE = 2 * 70° = 140°. ∠BOE = дуга BE = 140°. Ответ: ∠BOE = 140°.