Найдите х: 1) $$9^{\frac{1}{x}-3} = \frac{1}{3} \ln \sqrt[3]{e}$$ 2) $$\log_{\sqrt{2}} \log_{0.5} \frac{1}{x+2} = 2$$ 3) $$\log_8 (2x + 62) = 2 + \log_8 x$$

Для решения этих логарифмических уравнений необходимо использовать свойства логарифмов и степеней. Рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1. $$9^{\frac{1}{x}-3} = \frac{1}{3} \ln \sqrt[3]{e}$$

Сначала упростим правую часть уравнения:

$$ \frac{1}{3} \ln \sqrt[3]{e} = \frac{1}{3} \ln e^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \ln e = \frac{1}{9} $$

Итак, уравнение принимает вид:

$$ 9^{\frac{1}{x}-3} = \frac{1}{9} $$ $$ (3^2)^{\frac{1}{x}-3} = 3^{-2} $$ $$ 3^{\frac{2}{x}-6} = 3^{-2} $$

Приравниваем показатели:

$$ \frac{2}{x} - 6 = -2 $$ $$ \frac{2}{x} = 4 $$ $$ x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $$

2. $$\log_{\sqrt{2}} \log_{0.5} \frac{1}{x+2} = 2$$

Сначала избавимся от внешнего логарифма:

$$\log_{0.5} \frac{1}{x+2} = (\sqrt{2})^2 = 2$$

Теперь избавимся от логарифма:

$$ \frac{1}{x+2} = (0.5)^2 = \frac{1}{4} $$ $$ x+2 = 4 $$ $$ x = 2 $$

3. $$\log_8 (2x + 62) = 2 + \log_8 x$$

Перенесем все логарифмы в одну сторону:

$$ \log_8 (2x + 62) - \log_8 x = 2 $$

Используем свойство логарифма:

$$ \log_8 \frac{2x+62}{x} = 2 $$

Избавимся от логарифма:

$$ \frac{2x+62}{x} = 8^2 = 64 $$ $$ 2x + 62 = 64x $$ $$ 62 = 62x $$ $$ x = 1 $$