Найдите х, у. 1 B x 10 6 C 12 F y A

Рассмотрим треугольники ВCЕ и АFЕ. Они подобны по двум углам (∠ВCЕ = ∠АFЕ = 90°, ∠BЕС = ∠АЕF как вертикальные). Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{BC}{AF} = \frac{CE}{FE}$$

$$\frac{x}{y} = \frac{6}{10}$$

Также рассмотрим треугольник АВС. По теореме Пифагора:

$$BC^2 + AC^2 = AB^2$$

$$x^2 + (12+y)^2 = (10+6)^2$$

$$x^2 + (12+y)^2 = 16^2$$

$$x^2 + 144 + 24y + y^2 = 256$$

Выразим х через у из соотношения подобия треугольников:

$$x = \frac{3}{5}y$$

Подставим это выражение в уравнение теоремы Пифагора:

$$(\frac{3}{5}y)^2 + 144 + 24y + y^2 = 256$$

$$\frac{9}{25}y^2 + 144 + 24y + y^2 = 256$$

$$\frac{34}{25}y^2 + 24y - 112 = 0$$

$$34y^2 + 600y - 2800 = 0$$

$$17y^2 + 300y - 1400 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = 300^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-1400) = 90000 + 95200 = 185200$$

$$y = \frac{-300 \pm \sqrt{185200}}{2 \cdot 17} = \frac{-300 \pm 20\sqrt{463}}{34} = \frac{-150 \pm 10\sqrt{463}}{17}$$

Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$$y = \frac{-150 + 10\sqrt{463}}{17} ≈ \frac{-150 + 10 \cdot 21.52}{17} ≈ \frac{65.2}{17} ≈ 3.835$$

Теперь найдем х:

$$x = \frac{3}{5}y = \frac{3}{5} \cdot 3.835 ≈ 2.301$$

Ответ: x ≈ 2.301, y ≈ 3.835