3. Найдите интервалы монотонности функции y = 4x3 – 9x² + 30

Ответ: Функция возрастает на интервалах (-∞; 0) и (3/2; +∞), функция убывает на интервале (0; 3/2).

Шаг 1: Находим производную функции:

\[ y' = 12x^2 - 18x \]

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

\[ 12x^2 - 18x = 0 \] \[ 6x(2x - 3) = 0 \]

Отсюда:

\[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = \frac{3}{2} \]

Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах:

• x < 0, например x = -1, y' = 12(-1)^2 - 18(-1) = 12 + 18 = 30 > 0 (функция возрастает)
• 0 < x < 3/2, например x = 1, y' = 12(1)^2 - 18(1) = 12 - 18 = -6 < 0 (функция убывает)
• x > 3/2, например x = 2, y' = 12(2)^2 - 18(2) = 48 - 36 = 12 > 0 (функция возрастает)

Шаг 4: Записываем интервалы монотонности:

• Функция возрастает на интервалах (-∞; 0) и (3/2; +∞)
• Функция убывает на интервале (0; 3/2)

Ответ: Функция возрастает на интервалах (-∞; 0) и (3/2; +∞), функция убывает на интервале (0; 3/2).