Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = x²+3x²-2x+3, график которой проходит через точку с координатами (-1;2).

Решение:

Сначала упростим функцию: \( f(x) = x^2 + 3x^2 - 2x + 3 = 4x^2 - 2x + 3 \).

1. Найдем общую первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \):
   \[ F(x) = \int (4x^2 - 2x + 3) dx = 4\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x + C = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 3x + C \]
2. Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( (-1; 2) \). Это значит, что при \( x = -1 \), \( F(x) = 2 \). Подставим эти значения в уравнение первообразной:
   \[ 2 = \frac{4}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + 3(-1) + C \]
   \[ 2 = \frac{4}{3}(-1) - 1 - 3 + C \]
   \[ 2 = -\frac{4}{3} - 4 + C \]
   \[ 2 + 4 + \frac{4}{3} = C \]
   \[ 6 + \frac{4}{3} = C \]
   \[ \frac{18}{3} + \frac{4}{3} = C \]
   \[ C = \frac{22}{3} \]
3. Запишем найденную первообразную:
   \[ F(x) = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 3x + \frac{22}{3} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + 3x + \frac{22}{3} \).