Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (1; −2; 2), B (2; 6; 1), C (−1; −1; 3).

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, что его диагонали пересекаются в точке, являющейся серединой каждой из них. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда координаты точки O можно найти как середину отрезка AC: $$O = (\frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2}, \frac{A_z + C_z}{2})$$ $$O = (\frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-2 + (-1)}{2}, \frac{2 + 3}{2}) = (0, -\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$$ Так как O также является серединой BD, то координаты точки D можно найти следующим образом: $$O_x = \frac{B_x + D_x}{2}, O_y = \frac{B_y + D_y}{2}, O_z = \frac{B_z + D_z}{2}$$ Выразим координаты точки D: $$D_x = 2O_x - B_x, D_y = 2O_y - B_y, D_z = 2O_z - B_z$$ $$D_x = 2(0) - 2 = -2$$ $$D_y = 2(-\frac{3}{2}) - 6 = -3 - 6 = -9$$ $$D_z = 2(\frac{5}{2}) - 1 = 5 - 1 = 4$$ Таким образом, координаты вершины D равны (-2, -9, 4). Ответ: D(-2; -9; 4)