Найдите корень уравнения $$\sqrt{5x}=2-x$$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решим уравнение $$\sqrt{5x}=2-x$$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{5x})^2 = (2-x)^2$$

$$5x = 4 - 4x + x^2$$

$$x^2 - 9x + 4 = 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65$$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня. Найдем их:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + \sqrt{65}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - \sqrt{65}}{2}$$

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

Для $$x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{2}$$:

$$\sqrt{5 \cdot \frac{9 + \sqrt{65}}{2}} = 2 - \frac{9 + \sqrt{65}}{2}$$

$$\sqrt{\frac{45 + 5\sqrt{65}}{2}} = \frac{4 - 9 - \sqrt{65}}{2}$$

$$\sqrt{\frac{45 + 5\sqrt{65}}{2}} = \frac{-5 - \sqrt{65}}{2}$$

Так как левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, то корень $$x_1$$ не является решением уравнения.

Для $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{2}$$:

$$\sqrt{5 \cdot \frac{9 - \sqrt{65}}{2}} = 2 - \frac{9 - \sqrt{65}}{2}$$

$$\sqrt{\frac{45 - 5\sqrt{65}}{2}} = \frac{4 - 9 + \sqrt{65}}{2}$$

$$\sqrt{\frac{45 - 5\sqrt{65}}{2}} = \frac{-5 + \sqrt{65}}{2}$$

Обе части уравнения положительны. Данный корень является решением уравнения.

Так как $$\sqrt{64} = 8$$, то $$\sqrt{65} \approx 8.06$$

$$x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{2} \approx \frac{9 + 8.06}{2} = \frac{17.06}{2} = 8.53$$

$$x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{2} \approx \frac{9 - 8.06}{2} = \frac{0.94}{2} = 0.47$$

Таким образом, больший корень равен $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{9 - \sqrt{65}}{2}$$