Найдите корень уравнения (⅓)-5x-13 = ¹/₁₃.

Для нахождения корня уравнения $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-5x-13} = \frac{1}{13}$$, необходимо решить показательное уравнение.

1. Запишем уравнение в виде: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-5x-13} = \frac{1}{13}$$
2. Представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Однако, это не представляется возможным, так как $$\frac{1}{13}$$ нельзя представить как степень числа $$\frac{1}{3}$$.
3. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $$\frac{1}{3}$$:$$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-5x-13}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right)$$
4. Применим свойство логарифма степени:$$\log_{a}(b^c) = c \cdot \log_{a}b$$
5. Тогда уравнение примет вид:$$(-5x-13) \cdot \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right)$$
6. Так как $$\log_{a}a = 1$$, то:$$(-5x-13) \cdot 1 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right)$$
7. Упростим: $$-5x-13 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right)$$
8. Выразим -5x: $$-5x = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right) + 13$$
9. Разделим обе части на -5:$$x = \frac{\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right) + 13}{-5}$$
10. Перепишем:$$x = -\frac{1}{5}\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right) - \frac{13}{5}$$
11. Используем свойство замены основания логарифма:$$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$$
12. Перейдём к натуральному логарифму:$$x = -\frac{1}{5} \cdot \frac{\ln\left(\frac{1}{13}\right)}{\ln\left(\frac{1}{3}\right)} - \frac{13}{5}$$

Ответ: $$\frac{\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{13}\right) + 13}{-5}$$ или $$-\frac{1}{5} \cdot \frac{\ln\left(\frac{1}{13}\right)}{\ln\left(\frac{1}{3}\right)} - \frac{13}{5}$$