Найдите корень уравнения: 3) \(\frac{4}{7}(0,\overline{56} − 4,2y) + 0,4 = \frac{5}{12}(0,\overline{52} − 6,\overline{5}y)\).

Периодические дроби заменим обыкновенными:

\(0,\overline{56}=\frac{56}{99}\), \(0,\overline{52}=\frac{52}{99}\), \(6,\overline{5}=\frac{59}{9}\), \(4,2=\frac{21}{5}\), \(0,4=\frac{2}{5}\).

Подставим:

\(\frac{4}{7}\left(\frac{56}{99}-\frac{21}{5}y\right)+\frac{2}{5}=\frac{5}{12}\left(\frac{52}{99}-\frac{59}{9}y\right)\).

После раскрытия скобок:

\(\frac{32}{99}-\frac{12}{5}y+\frac{2}{5}=\frac{65}{297}-\frac{295}{108}y\).

Перенесём слагаемые:

\(\frac{179}{540}y=-\frac{749}{1485}\).

Отсюда:

\(y=-\frac{749}{1485}\cdot\frac{540}{179}=-\frac{2996}{1969}\).

Ответ: \(y=-\frac{2996}{1969}\).