580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x²- 15x - 16 = 0; б) m²- 6m - 11 = 0; в) 12x²- 4x - 1 = 0; г) t²- 6 = 0; д) 5x²- 18x = 0; e) 2y² - 41 = 0.

580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

a) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

$$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $$x_1 + x_2 = 16 + (-1) = 15$$

Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16$$

б) $$m^2 - 6m - 11 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$$

Корни уравнения:

$$m_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}$$

$$m_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4\sqrt{5}}{2} = 3 - 2\sqrt{5}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $$m_1 + m_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$$

Произведение корней: $$m_1 \cdot m_2 = (3 + 2\sqrt{5}) \cdot (3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 20 = -11$$

в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$$

г) $$t^2 - 6 = 0$$

$$t^2 = 6$$

$$t_1 = \sqrt{6}$$

$$t_2 = -\sqrt{6}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $$t_1 + t_2 = \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$$

Произведение корней: $$t_1 \cdot t_2 = \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$$

д) $$5x^2 - 18x = 0$$

$$x(5x - 18) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$5x - 18 = 0$$

$$5x = 18$$

$$x_2 = \frac{18}{5} = 3,6$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $$x_1 + x_2 = 0 + 3,6 = 3,6$$

Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 3,6 = 0$$

e) $$2y^2 - 41 = 0$$

$$2y^2 = 41$$

$$y^2 = \frac{41}{2}$$

$$y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$$

$$y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}} = -\frac{\sqrt{82}}{2}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Сумма корней: $$y_1 + y_2 = \frac{\sqrt{82}}{2} + (-\frac{\sqrt{82}}{2}) = 0$$

Произведение корней: $$y_1 \cdot y_2 = \frac{\sqrt{82}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{82}}{2}) = -\frac{82}{4} = -\frac{41}{2}$$

Ответ: a) 16 и -1; б) $$3 + 2\sqrt{5}$$ и $$3 - 2\sqrt{5}$$; в) 1/2 и -1/6; г) $$\sqrt{6}$$ и $$\sqrt{6}$$; д) 0 и 3,6; е) $$\frac{\sqrt{82}}{2}$$ и $$\frac{\sqrt{82}}{2}$$