Решение:
3. a) Найдём корни уравнения: $$\frac{2x-1}{3} = \frac{x+5}{8} - \frac{1-x}{2}.$$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, то есть на 24:
$$24 \cdot \frac{2x-1}{3} = 24 \cdot \frac{x+5}{8} - 24 \cdot \frac{1-x}{2}$$
$$8(2x-1) = 3(x+5) - 12(1-x)$$
Раскроем скобки:
$$16x - 8 = 3x + 15 - 12 + 12x$$
$$16x - 8 = 15x + 3$$
Перенесём члены с x в одну сторону, а константы в другую:
$$16x - 15x = 3 + 8$$
$$x = 11$$
Ответ: $$x = 11$$
б) Найдём корни уравнения: $$5x(12x-7) - 4x(15x-11) = 30 + 29x.$$
Раскроем скобки:
$$60x^2 - 35x - 60x^2 + 44x = 30 + 29x$$
$$9x = 30 + 29x$$
Перенесём члены с x в одну сторону, а константы в другую:
$$9x - 29x = 30$$
$$-20x = 30$$
$$x = -\frac{30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5$$
Ответ: $$x = -1.5$$
4. Найдём все значения параметра b, при которых уравнение $$bx^2 - 2(b+1)x - 4b = 7 - 2b$$ имеет корень.
Перепишем уравнение в виде: $$bx^2 - 2(b+1)x - 2b - 7 = 0$$
Рассмотрим два случая:
1) Если b = 0, то уравнение превращается в линейное:
$$-2(0+1)x - 2(0) - 7 = 0$$
$$-2x - 7 = 0$$
$$-2x = 7$$
$$x = -\frac{7}{2} = -3.5$$
Следовательно, при b = 0 уравнение имеет корень.
2) Если b != 0, то уравнение является квадратным. Для того чтобы квадратное уравнение имело корень, его дискриминант должен быть больше или равен нулю.
Вычислим дискриминант:
$$D = (-2(b+1))^2 - 4(b)(-2b-7) = 4(b^2 + 2b + 1) + 8b^2 + 28b = 4b^2 + 8b + 4 + 8b^2 + 28b = 12b^2 + 36b + 4$$
Чтобы уравнение имело корень, необходимо, чтобы $$D \ge 0$$:
$$12b^2 + 36b + 4 \ge 0$$
$$3b^2 + 9b + 1 \ge 0$$
Найдем корни квадратного уравнения $$3b^2 + 9b + 1 = 0$$
$$b = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 12}}{6} = \frac{-9 \pm \sqrt{69}}{6}$$
Таким образом, $$b_1 = \frac{-9 - \sqrt{69}}{6} \approx -2.98$$ и $$b_2 = \frac{-9 + \sqrt{69}}{6} \approx -0.019$$
Поскольку старший коэффициент квадратного уравнения положителен, парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство $$3b^2 + 9b + 1 \ge 0$$ выполняется, когда $$b \le \frac{-9 - \sqrt{69}}{6}$$ или $$b \ge \frac{-9 + \sqrt{69}}{6}$$.
Таким образом, уравнение $$bx^2 - 2(b+1)x - 4b = 7 - 2b$$ имеет корень, если $$b = 0$$ или $$b \le \frac{-9 - \sqrt{69}}{6}$$ или $$b \ge \frac{-9 + \sqrt{69}}{6}$$.