Найдите косинус угла \( ACB \) треугольника \( ABC \) с координатами точек \( A(2; 8), B(-1; 5), C(3; 1) \).

Привет, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. Нам нужно найти косинус угла \( ACB \) треугольника \( ABC \). Для этого мы воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами. **Шаг 1: Найдем векторы \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \)** Чтобы найти векторы \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \), нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки: \( \vec{CA} = A - C = (2 - 3; 8 - 1) = (-1; 7) \) \( \vec{CB} = B - C = (-1 - 3; 5 - 1) = (-4; 4) \) **Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \)** Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (x_1; y_1) \) и \( \vec{b} = (x_2; y_2) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \) В нашем случае: \( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4 = 4 + 28 = 32 \) **Шаг 3: Найдем длины векторов \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \)** Длина вектора \( \vec{a} = (x; y) \) вычисляется по формуле: \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \) В нашем случае: \( |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) \( |\vec{CB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) **Шаг 4: Найдем косинус угла \( ACB \)** Косинус угла между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \) вычисляется по формуле: \( \cos(\angle ACB) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} \) Подставляем значения: \( \cos(\angle ACB) = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{20 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \) **Ответ:** Косинус угла \( ACB \) равен \( \frac{4}{5} \). Надеюсь, теперь все понятно! Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать.