Найдите косинус угла \( \angle ACB \) треугольника \( ABC \) с координатами точек \( A(2; 8), B(-1; 5), C(3; 1) \).

Для нахождения косинуса угла \(\angle ACB\), воспользуемся теоремой косинусов, предварительно вычислив длины сторон треугольника \(ABC\). 1. Найдем длины сторон треугольника: * Длина стороны \(AC\): \(AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 8)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\) * Длина стороны \(BC\): \(BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\) * Длина стороны \(AB\): \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\) 2. Применим теорему косинусов: Теорема косинусов для угла \(\angle ACB\) выглядит так: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)\) Выразим \(\cos(\angle ACB)\) из этой формулы: \(\cos(\angle ACB) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}\) 3. Подставим значения и вычислим косинус угла: \(\cos(\angle ACB) = \frac{50 + 32 - 18}{2 \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{32}} = \frac{64}{2 \cdot \sqrt{1600}} = \frac{64}{2 \cdot 40} = \frac{64}{80} = \frac{4}{5}\) Таким образом, косинус угла \(\angle ACB\) равен \(\frac{4}{5}\). Ответ: \(\frac{4}{5}\)