Найдите косинус угла между векторами а = 3k-ри Б=k-3р, если к 1p, 瓦=p p = 1.

Решение:

Дано: \[\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}\] и \[\overrightarrow{b} = \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p}\].

Также известно, что \(\overrightarrow{k} \perp \overrightarrow{p}\), следовательно, \(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p} = 0\), и \(|\overrightarrow{k}| = |\overrightarrow{p}| = 1\).

Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p}) = 3(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) - 9(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p}) - (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{k}) + 3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p})\]

Так как \(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p} = 0\), а \(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k} = |\overrightarrow{k}|^2 = 1\) и \(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p} = |\overrightarrow{p}|^2 = 1\), то:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3(1) - 9(0) - (0) + 3(1) = 3 + 3 = 6\]

Теперь найдем модули векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}) \cdot (3\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p})} = \sqrt{9(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) - 6(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p}) + (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p})} = \sqrt{9(1) - 6(0) + 1} = \sqrt{10}\]

\[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{p})} = \sqrt{(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) - 6(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{p}) + 9(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p})} = \sqrt{1 - 6(0) + 9(1)} = \sqrt{10}\]

Косинус угла между векторами \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\] равен:

\[\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]

Ответ: \(\cos(\alpha) = \frac{3}{5}\)