Найдите косинус угла между векторами а = 4m - р и b = m + 2р, ес ли т⊥р и |m| = |р| = 1.

Давай разберем по порядку. Нам нужно найти косинус угла между векторами \(\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p}\), если \(\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{p}\) и \(|\overrightarrow{m}| = |\overrightarrow{p}| = 1\). Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) определяется формулой: \[cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\] Сначала найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\): \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p}) = 4(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{m}) + 8(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p}) - (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{m}) - 2(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p})\] Так как \(\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{p}\), то \(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p} = 0\). Также \(|\overrightarrow{m}| = |\overrightarrow{p}| = 1\), поэтому \(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{m} = |\overrightarrow{m}|^2 = 1\) и \(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p} = |\overrightarrow{p}|^2 = 1\). Тогда: \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot 1 + 0 - 0 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2\] Теперь найдем модули векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\): \[|\overrightarrow{a}|^2 = (4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p}) \cdot (4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p}) = 16(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{m}) - 8(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p}) + (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p}) = 16 \cdot 1 - 0 + 1 = 17\] \[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{17}\] \[|\overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p}) = (\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{m}) + 4(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p}) + 4(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p}) = 1 + 0 + 4 \cdot 1 = 5\] \[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{5}\] Подставим значения в формулу косинуса: \[cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}}\]

Ответ: \(cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{85}}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!