Найдите косинус угла между векторами $$\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$$ и $$\vec{c} = \vec{m} + 3\vec{n}$$, если $$\vec{m} \perp \vec{n}$$ и $$|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$$.

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить формулу для косинуса угла между двумя векторами, а также свойства скалярного произведения векторов.

Косинус угла между векторами $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$ выражается формулой:

$$cos(\angle(\vec{b}, \vec{c})) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$$

где $$\vec{b} \cdot \vec{c}$$ - скалярное произведение векторов $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$, а $$|\vec{b}|$$ и $$|\vec{c}|$$ - их модули.

Сначала найдем скалярное произведение $$\vec{b} \cdot \vec{c}$$:

$$\vec{b} \cdot \vec{c} = (6\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = 6(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 18(\vec{m} \cdot \vec{n}) - (\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$$

Учитывая, что $$\vec{m} \perp \vec{n}$$, то $$\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0$$. Также, $$|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$$, следовательно, $$\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1$$ и $$\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = 1$$.

Тогда:

$$\vec{b} \cdot \vec{c} = 6(1) + 18(0) - (0) - 3(1) = 6 - 3 = 3$$

Теперь найдем модули векторов $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$:

$$|\vec{b}| = \sqrt{(6\vec{m} - \vec{n}) \cdot (6\vec{m} - \vec{n})} = \sqrt{36(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{n})} = \sqrt{36(1) - 12(0) + 1} = \sqrt{37}$$

$$|\vec{c}| = \sqrt{(\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n})} = \sqrt{(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{n})} = \sqrt{1 + 6(0) + 9(1)} = \sqrt{10}$$

Подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла:

$$cos(\angle(\vec{b}, \vec{c})) = \frac{3}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{370}}$$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{370}$$:

$$cos(\angle(\vec{b}, \vec{c})) = \frac{3\sqrt{370}}{370}$$

Ответ: $$\frac{3\sqrt{370}}{370}$$