Найдите косинусы углов в треугольниках.

Рассмотрим каждый треугольник по очереди.

1. Треугольник 1:

   В данном треугольнике известны длины всех сторон. Косинус угла можно найти, используя теорему косинусов. Нам нужно найти cos α и cos β.

   Пусть a = 24, b = 18, c = 30.

   Тогда:

   Для угла α:

   $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$$ $$24^2 = 18^2 + 30^2 - 2 \cdot 18 \cdot 30 \cos(\alpha)$$ $$576 = 324 + 900 - 1080 \cos(\alpha)$$ $$1080 \cos(\alpha) = 324 + 900 - 576$$ $$1080 \cos(\alpha) = 648$$ $$\cos(\alpha) = \frac{648}{1080} = \frac{3}{5} = 0.6$$

   Для угла β:

   $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$$ $$18^2 = 24^2 + 30^2 - 2 \cdot 24 \cdot 30 \cos(\beta)$$ $$324 = 576 + 900 - 1440 \cos(\beta)$$ $$1440 \cos(\beta) = 576 + 900 - 324$$ $$1440 \cos(\beta) = 1152$$ $$\cos(\beta) = \frac{1152}{1440} = \frac{4}{5} = 0.8$$

   Ответ: cos α = 0.6, cos β = 0.8

2. Треугольник 2:

   Здесь у нас прямоугольный треугольник. Нам нужно найти cos α и cos β.

   Пусть a = 0.5, b = 1.2, c = 1.3 (гипотенуза).

   Для угла α:

   $$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{1.2}{1.3} = \frac{12}{13} \approx 0.923$$

   Для угла β:

   $$\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{0.5}{1.3} = \frac{5}{13} \approx 0.385$$

   Ответ: cos α = 12/13 ≈ 0.923, cos β = 5/13 ≈ 0.385

3. Треугольник 3:

   Дано: cos α = 0.8. Нужно найти AC.

   Пусть AB = 10. Тогда

   $$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB}$$ $$0.8 = \frac{AC}{10}$$ $$AC = 0.8 \cdot 10 = 8$$

   Ответ: AC = 8

4. Треугольник 4:

   Дано: cos β = 4/7. Нужно найти BC.

   В прямоугольном треугольнике:

   $$\cos(\beta) = \frac{BC}{AB}$$ $$\frac{4}{7} = \frac{BC}{2.1}$$ $$BC = \frac{4}{7} \cdot 2.1 = \frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 10} = \frac{4 \cdot 3}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$$

   Ответ: BC = 1.2