515. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника, где $$a < b$$, $$c$$ - гипотенуза, а $$h$$ - высота, проведённая к гипотенузе. Пусть $$b$$ - больший катет, и пусть $$x$$ - проекция большего катета на гипотенузу. Тогда, согласно условию: 1. $$b = c - 10$$ 2. $$b = x + 8$$ Из этих двух уравнений получаем: $$c - 10 = x + 8$$, следовательно, $$c = x + 18$$ Также, мы знаем, что $$x$$ - это проекция $$b$$ на $$c$$, и из подобия треугольников следует, что $$b^2 = cx$$. Подставим выражения для $$c$$ и $$b$$: $$(x + 8)^2 = (x + 18)x$$ Раскроем скобки: $$x^2 + 16x + 64 = x^2 + 18x$$ $$2x = 64$$, следовательно, $$x = 32$$ Теперь мы можем найти $$c$$ и $$b$$: $$c = x + 18 = 32 + 18 = 50$$ $$b = c - 10 = 50 - 10 = 40$$ Теперь найдем катет $$a$$. Из теоремы Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$a^2 + 40^2 = 50^2$$ $$a^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$$ $$a = \sqrt{900} = 30$$ Итак, меньший катет $$a = 30$$ см. Теперь найдем высоту $$h$$, проведённую к гипотенузе. Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$ Тогда $$ab = ch$$, следовательно, $$h = \frac{ab}{c}$$ $$h = \frac{30 \cdot 40}{50} = \frac{1200}{50} = 24$$ Таким образом, высота $$h = 24$$ см. **Ответ:** Меньший катет равен 30 см, высота, проведённая к гипотенузе, равна 24 см.