9. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции \(ABCD\), если диагональ \(AC\) образует с основанием \(BC\) и боковой стороной \(CD\) углы, равные \(30^\circ\) и \(105^\circ\) соответственно.

Ответ: 75°

Рассмотрим трапецию \(ABCD\). Известно, что углы \(\angle BCA = 30^\circ\) и \(\angle ACD = 105^\circ\). Так как трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны, т.е. \(\angle ABC = \angle BCD\) и \(\angle BAD = \angle CDA\). Сумма углов в трапеции равна \(360^\circ\).

Сначала найдем угол \(\angle BCD\):

\[\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^\circ + 105^\circ = 135^\circ\]

Значит, \(\angle ABC = 135^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Найдем угол \(\angle BAC\):

\[\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ\]

В равнобедренной трапеции \(\angle BAD = \angle CDA\). Сумма углов \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\), так как это углы при боковой стороне. Тогда

\[\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). Мы знаем, что \(\angle ACD = 105^\circ\) и \(\angle CDA = 45^\circ\). Найдем \(\angle CAD\):

\[\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle CDA = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ\]

Мы знаем углы трапеции: \(\angle ABC = 135^\circ\), \(\angle BCD = 135^\circ\), \(\angle BAD = 45^\circ\), \(\angle CDA = 45^\circ\).

Меньший угол трапеции равен 45 градусам.

Рассмотрим треугольник ADC. В нем угол ACD = 105 градусов, а угол CAD является углом при основании равнобедренной трапеции. Угол ADC = углу BAD = 180 - углу ABC = 180 - (30 + x), где x - неизвестный угол, образованный диагональю AC с основанием AD. Из суммы углов в треугольнике ADC, 105 + (180 - 135) + x = 180, где угол ADC = углу CDA = 45 градусов. Следовательно угол DAC = 30 градусов. Угол BAD = углу BAC + углу CAD = 15 + 30 = 45. Так как трапеция равнобедренная, угол CDA = углу BAD = 45 градусов. Угол BCD = углу ABC = 180 - 45 = 135. Меньший угол трапеции 45 градусов.

Ответ: 75°