Решение

1. Найдите модуль вектора $$\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$$

Дано: $$\vec{a}(1;-1;2)$$, $$\vec{b}(3;-2;-1)$$.

Найти: $$|\vec{p}|$$, где $$\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$$.

1. Найдем координаты вектора $$\vec{p}$$:

$$\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b} = 7(1;-1;2) - 4(3;-2;-1) = (7;-7;14) - (12;-8;-4) = (7-12; -7+8; 14+4) = (-5; 1; 18)$$

2. Найдем модуль вектора $$\vec{p}$$:

$$|\vec{p}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 18^2} = \sqrt{25 + 1 + 324} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14}$$

Ответ: $$|\vec{p}| = 5\sqrt{14}$$

2. Выразите вектор $$\vec{MK}$$ через векторы $$\vec{AB}$$, $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AA_1}$$

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ - середина ребра $$B_1C_1$$, точка $$K$$ - середина ребра $$CD$$.

Нужно выразить вектор $$\vec{MK}$$ через векторы $$\vec{AB}$$, $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AA_1}$$.

$$\vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK}$$

$$\vec{MC_1} = \frac{1}{2} \vec{B_1C_1} = \frac{1}{2} \vec{AD}$$

$$\vec{C_1C} = -\vec{AA_1}$$

$$\vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{CD} = -\frac{1}{2} \vec{AB}$$

Тогда:

$$\vec{MK} = \frac{1}{2} \vec{AD} - \vec{AA_1} - \frac{1}{2} \vec{AB}$$

Ответ: $$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AA_1}$$