5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке: y = x3 + 3x² - 45х - 2 на [-6; -1]

Решение задания №5

1. Находим производную функции: \[y' = 3x^2 + 6x - 45\]
2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: \[3x^2 + 6x - 45 = 0\] \[x^2 + 2x - 15 = 0\] Дискриминант: \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\] Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]
3. Определяем, какие корни принадлежат промежутку [-6; -1]. Корень \(x_1 = 3\) не принадлежит промежутку [-6; -1]. Корень \(x_2 = -5\) принадлежит промежутку [-6; -1].
4. Вычисляем значение функции на концах промежутка и в точке \(x = -5\): \[y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 45(-6) - 2 = -216 + 108 + 270 - 2 = 160\] \[y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 45(-1) - 2 = -1 + 3 + 45 - 2 = 45\] \[y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = -125 + 75 + 225 - 2 = 173\]
5. Сравниваем полученные значения и выбираем наибольшее и наименьшее: Наибольшее значение: 173 Наименьшее значение: 45

Ответ: Наибольшее значение функции равно 173, наименьшее значение функции равно 45.

Проверка за 10 секунд: Найдены производная, корни, значения на концах и в критической точке. Выбраны min и max.

Уровень Эксперт: Всегда проверяй, принадлежат ли критические точки заданному интервалу. Это частая ошибка!