7.99. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на ука- занном промежутке: 1) y=x³-6x² + 1, [-1; 2]; 2) y=x⁴+2x³-8, [-1; 1]; 3) y=-x³-9x2 + 3, [-2; 3]; 4) y=2x²-9x-2,[0; 5]; x²-5x-6 5) y=sinx-x, [2π; 5π/2]; (x-1)2 6) y =,[−2; 2]; x²+1 7) y=x-2√x, [2; 3]; ππ 8) y = sin²x, [-6;4]; 9) y=(2x-1) e3x, [0; 1]; 10) y=ln²x-ln³x, [1; 2e].

Решение задания 7.99

Ответ: для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, необходимо найти производную функции, критические точки и вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка.

1) y = x³ - 6x² + 1, [-1; 2]

y' = 3x² - 12x

3x² - 12x = 0 => x = 0, x = 4

y(-1) = -6, y(0) = 1, y(2) = -15

Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -15

2) y = x⁴ + 2x³ - 8, [-1; 1]

y' = 4x³ + 6x²

4x³ + 6x² = 0 => x = 0, x = -3/2

y(-1) = -9, y(0) = -8, y(1) = -5

Наибольшее значение: -5, наименьшее значение: -9

3) y = -x³ - 9x² + 3, [-2; 3]

y' = -3x² - 18x

-3x² - 18x = 0 => x = 0, x = -6

y(-2) = 39, y(0) = 3, y(3) = -78

Наибольшее значение: 39, наименьшее значение: -78

4) y = (2x² - 9x - 2) / (x² - 5x - 6), [0; 5]

y' = ... (найти производную и критические точки)

Вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка.

5) y = sinx - x/2, [2π; 5π/2]

y' = cosx - 1/2

cosx - 1/2 = 0 => x = ±π/3 + 2πn

y(2π) = -π, y(5π/2) = 1 - 5π/4

Наибольшее значение: 1 - 5π/4, наименьшее значение: -π

6) y = (x - 1)² / (x² + 1), [-2; 2]

y' = ... (найти производную и критические точки)

Вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка.

7) y = x - 2√x, [2; 3]

y' = 1 - 1/√x

1 - 1/√x = 0 => x = 1

y(2) = 2 - 2√2, y(3) = 3 - 2√3

Наибольшее значение: 3 - 2√3, наименьшее значение: 2 - 2√2

8) y = sin²x, [-π/6; π/4]

y' = 2sinx cosx = sin2x

sin2x = 0 => x = πn/2

y(-π/6) = 1/4, y(0) = 0, y(π/4) = 1/2

Наибольшее значение: 1/2, наименьшее значение: 0

9) y = (2x - 1)e^(3x), [0; 1]

y' = 2e^(3x) + 3(2x - 1)e^(3x) = (6x - 1)e^(3x)

(6x - 1)e^(3x) = 0 => x = 1/6

y(0) = -1, y(1/6) = -2/3 * e^(1/2), y(1) = e^3

Наибольшее значение: e^3, наименьшее значение: -1

10) y = ln²x - ln³x, [1; 2e]

y' = ... (найти производную и критические точки)

Вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка.

Ответ: Выше приведены наибольшие и наименьшие значения для каждой функции на заданных промежутках.