Найдите наибольшее значение функции у=2cosx+9x/π-5 на отрезке [0;4π/3].

Ответ: 11

1. Найдём производную функции: \[y' = -2\sin x + \frac{9}{\pi}\]
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \[-2\sin x + \frac{9}{\pi} = 0\] \[\sin x = \frac{9}{2\pi} \approx 1.43\] Так как \(|\sin x| \le 1\), то уравнение не имеет решений. Следовательно, критических точек нет.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка: При \(x = 0\): \[y(0) = 2\cos(0) + \frac{9 \cdot 0}{\pi} - 5 = 2 - 5 = -3\] При \(x = \frac{4\pi}{3}\): \[y\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + \frac{9}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} - 5 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 12 - 5 = -1 + 12 - 5 = 6\]
4. Проверим, не находится ли точка, где производная не существует, на заданном отрезке. В данном случае производная существует на всем отрезке.
5. Сравним значения функции на концах отрезка: \(y(0) = -3\) \(y\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 6\) Наибольшее значение функции на отрезке равно 6.

Ответ: 6