Вопрос:

Найдите наибольшее значение функции y = x⁵ + 20x³ – 65x на отрезке [-4; 0].

Ответ:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке, нужно найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует) и проверить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.
1. Найдём производную функции:
$$y' = 5x^4 + 60x^2 - 65$$
2. Приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения:
$$5x^4 + 60x^2 - 65 = 0$$
Разделим обе части уравнения на 5:
$$x^4 + 12x^2 - 13 = 0$$
Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:
$$t^2 + 12t - 13 = 0$$
Решим квадратное уравнение относительно t:
$$D = 12^2 - 4 cdot 1 cdot (-13) = 144 + 52 = 196$$
$$t_1 = \frac{-12 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
$$t_2 = \frac{-12 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13$$
Так как $$t = x^2$$, то $$x^2 = 1$$ и $$x^2 = -13$$. Второй случай не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.
$$x^2 = 1$$
$$x_1 = 1$$
$$x_2 = -1$$
3. Проверим, какие из найденных корней принадлежат отрезку [-4; 0]:
$$x = 1$$ не принадлежит отрезку [-4; 0].
$$x = -1$$ принадлежит отрезку [-4; 0].
4. Вычислим значение функции в критической точке $$x = -1$$ и на концах отрезка $$x = -4$$ и $$x = 0$$:
$$y(-4) = (-4)^5 + 20(-4)^3 - 65(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044$$
$$y(-1) = (-1)^5 + 20(-1)^3 - 65(-1) = -1 - 20 + 65 = 44$$
$$y(0) = (0)^5 + 20(0)^3 - 65(0) = 0$$
5. Сравним полученные значения функции:
$$y(-4) = -2044$$
$$y(-1) = 44$$
$$y(0) = 0$$
Наибольшее значение функции на отрезке [-4; 0] равно 44.
Ответ: 44
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие