Решение

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.
5. Выбрать наибольшее значение из полученных.

1. Находим производную функции:

$$y = 3x^5 - 20x^3 - 54$$

$$y' = 15x^4 - 60x^2$$

2. Находим критические точки (приравниваем производную к нулю):

$$15x^4 - 60x^2 = 0$$

$$15x^2(x^2 - 4) = 0$$

$$x^2 = 0$$ или $$x^2 - 4 = 0$$

$$x = 0$$ или $$x = \pm 2$$

Критические точки: x = -2, x = 0, x = 2

3. Определяем, какие из критических точек принадлежат отрезку [-4; -1]:

x = -2 принадлежит отрезку [-4; -1].

x = 0 и x = 2 не принадлежат отрезку [-4; -1].

4. Вычисляем значения функции в критической точке x = -2 и на концах отрезка x = -4 и x = -1:

$$y(-4) = 3(-4)^5 - 20(-4)^3 - 54 = 3(-1024) - 20(-64) - 54 = -3072 + 1280 - 54 = -1846$$

$$y(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 - 54 = 3(-32) - 20(-8) - 54 = -96 + 160 - 54 = 10$$

$$y(-1) = 3(-1)^5 - 20(-1)^3 - 54 = 3(-1) - 20(-1) - 54 = -3 + 20 - 54 = -37$$

5. Выбираем наибольшее значение из полученных: -1846, 10, -37.

Наибольшее значение функции на отрезке [-4; -1] равно 10.