12 Найдите наибольшее значение функции y=3x-3 tgx-5 на отрезке [0; π/4]. Ответ:

Найдем производную функции:

$$y' = 3 - \frac{3}{\cos^2{x}}$$

Приравняем производную к нулю:

$$3 - \frac{3}{\cos^2{x}} = 0$$

$$ \frac{3}{\cos^2{x}} = 3$$

$$ \cos^2{x} = 1$$

$$ \cos{x} = ±1$$

$$x=0, x = \pi$$

Отрезку $$[0; \frac{\pi}{4}]$$ принадлежит только точка x = 0.

Вычислим значение функции на концах отрезка и в точке x = 0:

$$y(0) = 3 \cdot 0 - 3 \cdot tg(0) - 5 = -5$$

$$y(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\pi}{4} - 3 \cdot tg(\frac{\pi}{4}) - 5 = \frac{3\pi}{4} - 3 - 5 = \frac{3\pi}{4} - 8 \approx -5.646$$

Наибольшее значение функции на отрезке $$[0; \frac{\pi}{4}]$$ достигается в точке x = 0 и равно -5.

Ответ: -5