Найдите наибольший общий делитель для чисел $$5^3 \cdot 11^7 \cdot 13^{15}$$ и $$5^8 \cdot 7^4 \cdot 11^{12}$$, заполнив показатели степеней: $$НОД(5^3 \cdot 11^7 \cdot 13^{15}, 5^8 \cdot 7^4 \cdot 11^{12}) = 5^{\boxed{?}} \cdot 11^{\boxed{?}}$$

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, представленных в виде произведения степеней простых чисел, нужно выбрать наименьшую степень для каждого общего простого числа.

В данном случае, у нас есть два числа: $$5^3 \cdot 11^7 \cdot 13^{15}$$ и $$5^8 \cdot 7^4 \cdot 11^{12}$$.

Общие простые числа для обоих чисел — это 5 и 11.

• Для числа 5 наименьшая степень — 3 (так как $$5^3$$ встречается в первом числе, а $$5^8$$ во втором).
• Для числа 11 наименьшая степень — 7 (так как $$11^7$$ встречается в первом числе, а $$11^{12}$$ во втором).

Следовательно, НОД будет равен $$5^3 \cdot 11^7$$.

Таким образом, показатели степеней, которые нужно заполнить, это 3 и 7.

Ответ: $$НОД(5^3 \cdot 11^7 \cdot 13^{15}, 5^8 \cdot 7^4 \cdot 11^{12}) = 5^3 \cdot 11^7$$