Найдите наименьшее натуральное число n такое, что произведение всех чисел от 1 до n делится на 18, на 19, на 20 и на 21?

Для того, чтобы произведение всех чисел от 1 до n делилось на 18, 19, 20 и 21, число n должно быть не меньше каждого из этих чисел. Кроме того, произведение 1 * 2 * ... * n должно содержать все простые множители чисел 18, 19, 20 и 21 в необходимых степенях. Разложим числа на простые множители: 18 = 2 * 3^2 19 = 19 20 = 2^2 * 5 21 = 3 * 7 Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Для этого возьмем все простые множители с наибольшими степенями, в которых они встречаются в разложениях чисел: НОК(18, 19, 20, 21) = 2^2 * 3^2 * 5 * 7 * 19 = 4 * 9 * 5 * 7 * 19 = 23940 Для того, чтобы произведение всех чисел от 1 до n делилось на 23940, число n должно быть таким, чтобы факториал n (n!) включал в себя все простые множители в нужных степенях. Поскольку 19 - простое число, то n должно быть не меньше 19. При n=19, произведение 1*2*...*19 содержит все нужные делители. Проверим, достаточно ли n=19: 18 = 2 * 3^2. 19! содержит 2 и два множителя 3, так как есть 3, 6, 9, 12, 15, 18 19 = 19. 19! содержит 19 20 = 2^2 * 5. 19! содержит 2^2 (например, 4) и 5 21 = 3 * 7. 19! содержит 3 и 7 Таким образом, 19! делится на 18, 19, 20 и 21. Ответ: n=21