Найдите наименьшее натуральное n, при котором среди трёх дробей 19/(n+19), 20/(n+20), 95/(n+95) нет несократимых.

Фраза «нет несократимых» означает, что все три дроби должны быть сократимыми.

Для первой дроби общий делитель числителя и знаменателя совпадает с общим делителем 19 и n, поскольку НОД(19, n + 19) = НОД(19, n). Для второй и третьей аналогично: НОД(20, n + 20) = НОД(20, n), НОД(95, n + 95) = НОД(95, n).

Чтобы все дроби сокращались, n должно иметь общий делитель с каждым из чисел 19, 20 и 95. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — 1? Проверим: НОД(1,19) = НОД(1,20) = НОД(1,95) = 1, поэтому дроби при n = 1 несократимы. Следующее натуральное число, имеющее общий делитель со всеми тремя числами, — 95: НОД(95,19) = 19, НОД(95,20) = 5, НОД(95,95) = 95.

При n = 95 все три дроби сокращаются: 19/114, 20/115 и 95/190. Числа 1–94 не подходят, так как для сокращения второй дроби n должно иметь общий делитель с 20, а для первой — с 19; наименьшее положительное общее кратное 19 и числа из множителей 20, которое одновременно делит 95, здесь 95.

Ответ: n = 95.